Может ли заказчик при оценке квалификации участника закупки требовать опыт исполнения контрактов как по 44-ФЗ, так и по 223-ФЗ?

Да, для оценки заявок по критерию "квалификация участников закупки" в отношении показателя "наличие у участников закупки опыта поставки товара, выполнения работы, оказания услуги, связанного с предметом контракта" формой порядка рассмотрения и оценки заявок на участие в конкурсе может быть установлено положение о принятии к оценке исключительно контракта, заключенного и исполненного в соответствии с Федеральным законом от 05.04.2013 N 44-ФЗ "О контрактной системе в сфере закупок товаров, работ, для обеспечения государственных и муниципальных нужд", и договора, заключенного и исполненного в соответствии с Федеральным законом от 18.07.2011 N 223-ФЗ "О закупках товаров, работ, услуг отдельными видами юридических лиц".